Книжный каталог

Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии

Перейти в магазин

Сравнить цены

Категория: Книги

Описание

Настоящий сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии для VIII-X классов средней школы

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
Сборник Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре Сборник Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре 170 р. litres.ru В магазин >>
Георгий Конюс Сборник задач, упражнений и вопросов (1001) для практического изучения элементарной теории музыки Георгий Конюс Сборник задач, упражнений и вопросов (1001) для практического изучения элементарной теории музыки 0 р. litres.ru В магазин >>
Сборник формул по математике Сборник формул по математике 61 р. piter.com В магазин >>
Сборник формул по математике Сборник формул по математике 64 р. piter.com В магазин >>
Беклемишева Л. Сборник задач по аналитич. геометрии и линейной алгебре Беклемишева Л. Сборник задач по аналитич. геометрии и линейной алгебре 1089 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
П. Н. Бибило Задачи по проектированию логических схем с использованием языка VHDL П. Н. Бибило Задачи по проектированию логических схем с использованием языка VHDL 599 р. ozon.ru В магазин >>
А. С. Поспелов Высшая математика. Сборник задач. В 4 частях. Часть 3 А. С. Поспелов Высшая математика. Сборник задач. В 4 частях. Часть 3 909 р. ozon.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии 1955г

Школьникам
  • Ставок пока нет, Ваша ставка будет первой! обновить .
  • 1 дн. до конца (2 Янв Вт, 16:44:26)
  • Местоположение лота: Оренбург
  • Стоимость доставки оплачивает: Покупатель

Наличие : В наличии

Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии 1955г Хорошее состояние.

Приветствую всех посетителей моей страницы!

Внимательно прочитайте страницу "Обо мне" до покупки моих лотов и мы с Вами избежим впоследствии ненужных вопросов.

Пересылка по России осуществляется только после полной предоплаты.

Все лоты отправляю только в пластике (заказным).

Правила участия в моих аукционах:

1.Приобретая лот, Вы покупаете то, что видите на скане. Внимательно смотрите сканы.

2.Все вопросы задавайте в "Обсуждении лота" до покупки, после покупки никакие претензии типа "не понравилось", "не рассмотрел" и т.п. не принимаются!

3.По лотам, продающимся по приципу "как есть" все вопросы - до покупки, после покупки никакие претензии не принимаются!

4.Если Вы купили лоты по блиц-цене и собираетесь продолжить покупки позднее, сообщите о своих намерениях мне на почту.

5.Делая ставку, Вы принимаете условия Продавца и правила аукциона. При несогласии просьба воздержаться от ставок.

6.Подтвердив свою ставку, Вы тем самым налагаете на себя обязательства оплатить лот и выполнить все требования продавца, обозначенные на странице лота

7.Отправка лота только по России.

8.Выход на связь - 3 дня с момента завершения торгов (обязательно указывайте свои ФИО и ник на аукционе). Внимание! Заполнение формы оплаты без дополнительного письма мне на почту не считаю выходом на связь! Оплата лота в течение 5 рабочих дней. При несоблюдении этих условий - выставляю отрицательный отзыв и перевыставляю лот без предупреждения! Ничего личного, обычный возврат комиссии аукциона.

9.За работу Почты России ответственности не несу. Качественная упаковка и своевременная отправка гарантируется. Страховка по желанию (+ 4% к стоимости лота/лотов). Оплата - карта Сбербанка.

УДАЧИ НА АУКЦИОНЕ .

Тип сделки: Способы оплаты:

Почта России по городу: 100 руб. по стране: 100 руб.

Источник:

newauction.ru

Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии - ОТП «Litamarket»

Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии

Год издания: 1955 г.

Количество страниц: 160

Пособие для учителей для 8-10 классов средней школы

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии.

Другие товары раздела

Организация внеклассной работы по немецкому языку. Из опыта работы

Автор: Мокроусова Г.И., Кузовлева Н.е.

Вечера по физике в средней школе

Автор: Браверман, Э.М.

Внеклассная работа по математике

Автор: Альхова З.Н., Макеева А.В.

Вы смотрели

Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии

Автор: Березанская, Е.С.; Нагибин, Ф.Ф.

Психология стрельбы

Автор: Жуковский В.

Открытый книгомаркет «litamarket.ru»

Сайт разработан:

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Источник:

litamarket.ru

Березанская, Елизавета Савельевна - Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии Текст: Для VIII-X классов сред

Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии

Оператор AND означает, что документ должен соответствовать всем элементам в группе:

Тип поиска

По-умолчанию, поиск производится с учетом морфологии.

Для поиска без морфологии, перед словами в фразе достаточно поставить знак "доллар":

Поиск по синонимам

В применении к одному слову для него будет найдено до трёх синонимов.

В применении к выражению в скобках к каждому слову будет добавлен синоним, если он был найден.

Не сочетается с поиском без морфологии, поиском по префиксу или поиском по фразе.

Группировка

Например, нужно составить запрос: найти документы у которых автор Иванов или Петров, и заглавие содержит слова исследование или разработка:

Приблизительный поиск слова

Можно дополнительно указать максимальное количество возможных правок: 0, 1 или 2. Например:

Критерий близости Релевантность выражений

Чем выше уровень, тем более релевантно данное выражение.

Например, в данном выражении слово "исследование" в четыре раза релевантнее слова "разработка":

Поиск в интервале

Будет произведена лексикографическая сортировка.

Для того, чтобы включить значение в интервал, используйте квадратные скобки. Для исключения значения используйте фигурные скобки.

Березанская, Елизавета Савельевна - Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии [Текст] : Для VIII-X классов сред. школы : Пособие для учителей

Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии [Текст] : Для VIII-X классов сред. школы : Пособие для учителей / Е. С. Березанская, Ф. Ф. Нагибин. - Москва : Учпедгиз, 1951. - 160 с. : черт.; 21 см.

Алгебра - Задачи и упражнения

Тригонометрия - Задачи и упражнения

$a Березанская, Елизавета Савельевна

$a Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии

$b Для VIII-X классов сред. школы : Пособие для учителей

$a Тригонометрия - Задачники

$a Алгебра - Задачи и упражнения

$a Тригонометрия - Задачи и упражнения

Источник:

search.rsl.ru

Задачник-практикум по теме - Тригонометрия

Задачник-практикум по теме "Тригонометрия"

Министерство образования и науки Самарской области

ГОУ СПО Тольяттинский техникум технического и художественного образования

ЗАДАЧНИК – ПРАКТИКУМ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальности СПО

Предметной (цикловой) комиссией естественно- научного цикла

Зам. директора по УМР

_______/ Самойлова Л.В.

Ерисова В.П преподаватель математики, ГОУ СПО Тольяттинский техникум технического и художественного образования

Учебно-методическое пособие по подготовке студентов к тематическому зачету. «Задачник-практикум по тригонометрии».(Для специальностей технического профиля 1-2 курса)

Доктор технических наук , зав. кафедрой Тольяттинского государственного университета

Задачник-практикум по тригонометрии. – Тольятти: ТТТиХО, 2010, - С.

Сборник содержит задания раздела «Тригонометрия». Задачи подобраны с учетом требований государственного образования стандарта общего образования. Рекомендуется преподавателям математики и обучающимся учреждений начального и среднего профессионального образования.

Настоящий задачник-практикум составлен в соответствии с программой по математике для образовательных учреждений СПО. Также он может быть использован учебными заведениями, реализующими программы НПО.

Цель его – помочь обучающимся в изучении раздела математики «Тригонометрические преобразования», решать уравнения, уравнения с параметрами, с модулем, системы и неравенства.

Практикум составлен исходя из учета тех трудностей, с которыми встречаются обучающиеся.

Много заданий дано с подробным решением. Предлагаются задания для самоконтроля.

Настоящий задачник-практикум рассчитан для самостоятельного изучения данного раздела математики. Он поможет студентам подготовиться к контрольной работе, зачету.

При составлении задачника были использованы учебники, учебные пособия и сборники задач.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Основные формулы тригонометрии

Рассмотрим единичную тригонометрическую окружность.

Синусом угла называется ордината точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол .

Косинусом угла называется абсцисса точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол .

Тангенсом угла называется отношение абсциссы к ординате точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол .

Котангенсом угла называется отношение абсциссы к ординате точки – конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол .

Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла:

Формулы сложения:

Формулы кратких аргументов:

Формулы понижения степени:

Формулы преобразования сумм и разностей в произведения:

Формулы преобразования произведений в суммы или разности:

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Упростите выражение:

Упростите выражение:

Упростите выражение:

Докажите тождество:

Докажите тождество:

7.Докажите тождество:

8. Докажите тождество:

9. Докажите тождество:

10. Вычислите:

Вычислите:

12. Дано: и

Упростите выражение и найдите его числовое значение:

1.1. Представить в виде произведения выражения:

1.2. Доказать тождество:

1.3. Упростить выражение:

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Применяя различные преобразования при решении тригонометрических уравнений, мы приходим к простейшим уравнениям, формулы решения которых следует запомнить:

а)

Это уравнение имеет решения, если или Общее решение этого уравнения записывается в виде

Если же , то данное уравнение не имеет решений, что следует запомнить, т.к. забывая об этом, учащиеся часто допускают ошибки.

Например, решая уравнение и не учитывая, что , записывают «решение» этого уравнения в виде , несмотря на то, что функция arcsin x не определена в точке и приведенная запись не имеет смысла.

Решить уравнение:

но arcsin 0 = 0, следовательно решение этого уравнения можно записать так:

Решить уравнение:

но , тогда получаем

.

При четном к = 2 n ; ;

при нечетном .

Оба случая дают одну и ту же формулу

,

которая и является решением.

Решить уравнение:

Так как , то

При четном

при нечетном

Оба случая дают одну и ту же формулу

которая является решением.

Решения, полученные в примерах 1 – 3, целесообразно запомнить, так как их запись является более удобной, чем запись решения в общем виде.

б) Это уравнение имеет решение, если или

Общее решение этого уравнения записывается в виде

,

где , ,

Если , уравнение решения не имеет.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи, когда запись решения допускает упрощения.

Решить уравнение:

П

о общей формуле

но , поэтому решение уравнения записывается так:

Решить уравнение:

По общей формуле

но , поэтому решение уравнения записывается так:

.

Решить уравнение:

По общей формуле

Заменяя его значением, получим

Выражение обозначает множество чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1, а выражение обозначает множество чисел, дающих в остатке 3. Такими свойствами обладает множество нечетных чисел, следовательно, выражение может быть заменено выражением , обозначающим множество всех нечетных чисел. Поэтому решение уравнения записывают так:

Записи решений трех рассмотренных уравнений также следует запомнить.

в) Это уравнение имеет решения при любых значениях

Общее решение этого уравнения записывается в виде

где

Решить уравнение:

но , следовательно,

Решить уравнение:

,

но , следовательно,

Решить уравнение:

,

но , поэтому

Рассмотреть еще несколько примеров решения простейших тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: 1)

Так как , то общее решение уравнения запишется в виде

2)

Так как общее решение уравнения запишется в виде

3)

Используя тождество , получим

,

4)

Так как , данное уравнение решений не имеет, т.е.

5)

,

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА

Уравнения вида легко сводятся к простейшим введением вспомогательного неизвестного а уравнение вида

сводятся к алгебраическим, путем соответствующих подстановок

Решить уравнение:

Решить уравнение:

Решить уравнение:

так как , произведение , а это возможно лишь для , то есть получим уравнение:

Решить уравнение:

, то выражение при любом , поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ:

Решить уравнение:

К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ ВИДУ ОТНОСИТЕЛЬНО КАКОЙ-ЛИБО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Один из приемов решения тригонометрических уравнений состоит в том, что различные тригонометрические функции, входящие в данное уравнение, выражаются через одну и ту же функцию с одинаковым аргументом. Тем самым тригонометрическое уравнение с помощью подстановки приводится к алгебраическому, которое и решается на основании общих методов решения алгебраических уравнений.

Решить уравнение:

Пусть

Ответ:

Решить уравнение:

Применяя тождество , получим

Применив подстановку , получим квадратное уравнение, корни которого

Применяя обратную подстановку, получим

Ответ:

Решить уравнение:

Применим тождество: ,

тогда исходное уравнение можно записать в виде

Полагая , а уравнение

Ответ:

Если все функции, входящие в данное уравнение, имеют одинаковый аргумент, то тригонометрическое уравнение сводится к алгебраическому с помощью следующих тригонометрических тождеств:

Однако использование данных формул ведет к сужению области определения исходного уравнения, при этом возможна потеря решений. Поэтому после окончания решения необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение значение неизвестного

или

при которых правая часть указанных тождеств не имеет смысла.

Решить уравнение:

Заменяя и через тангенс половинного аргумента и применяя подстановку , получим

Корни этого уравнения и Тогда

Полученные значения х являются сериями решений исходного уравнения, остается проверить, не являются ли корнями значения , подставляя это значение в левую часть исходного уравнения, получим

,

то есть не является корнем исходного уравнения.

Ответ:

Решить уравнение:

Выражая и через , а , в свою очередь, обозначив через t , получим

Отсюда , то есть и

Подставим теперь в левую часть исходного уравнения Имеем Так как - верное равенство, значение также является корнем исходного уравнения. После этого записываем ответ:

Отметим, что далеко не все тригонометрические уравнения, приводимые к алгебраическому виду относительно какой-либо функции, имеют простое решение. Покажем это на примерах.

Решить уравнение:

Используем тождество

После подстановки получим , откуда

Тогда Дискриминант этого квадратного относительно уравнения отрицателен, следовательно,

Пусть теперь

Рассмотрим еще один тип тригонометрических уравнений, которые можно свести к алгебраическим относительно какой-либо функции, так называемые однородные тригонометрические уравнения.

Определение. Тригонометрическое уравнение называется однородным, если левая часть его – однородный многочлен относительно и , а правая часть – нуль.

Например, - однородное тригонометрическое уравнение. Покажем общий способ решения таких уравнений.

Решить уравнение:

Очевидно, значение не является решением этого уравнения, так как предположив, что , получим и для одних и тех же х, что противоречит тождеству Следовательно, для данного уравнения Тогда, не нарушая равносильности, можно обе части уравнения (8) поделить на . Получим

Ответ:

Решить уравнение:

Учитывая, что в данном уравнении , после деления на получим

,

откуда и

и

Ответ:

Решить уравнение:

Это уравнение не является однородным, но мы можем свести его к однородному, записав свободный член в виде

,

тогда После деления на и приведения подобных членов, получим

Ответ:

Решить уравнение:

Приведем это уравнение к однородному и решим его так же, как и предыдущее;

Ответ:

СПОСОБ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,

ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СВОЙСТВ

ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО

Если после переноса всех членов уравнения в левую часть полученное выражение можно разложить на множители, то можно воспользоваться свойством произведения: произведение двух или нескольких сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следует особо подчеркнуть, что корни какого-либо из сомножителей могут не входить в область определения другого сомножителя, то есть необходима проверка полученных решений. Посторонние корни могут появиться и в результате тождественных преобразований в частях уравнения. Например, уравнение и уравнение не является равносильным, так как уравнение (1) не имеет корней, а решением уравнения (2) является значение В этом случае также необходима проверка решений. Рассмотрим несколько примеров.

Решить уравнение:

Перенося единицу в левую часть уравнения и используя тождество , получим

Приравнивая к нулю каждый множитель, получим совокупность уравнений, которая в данном случае равносильна исходному

Ответ:

Решить уравнение:

Перенося все члены уравнения в левую часть и применяя тождество и получим

,

откуда

Ответ:

Решить уравнение:

,

но эти значения х не входят в область определения второго сомножителя, значит, являются посторонними. Приравнивая к нулю второй сомножитель, получим

Ответ:

Решить уравнение:

Используя тождество ,

Ответ:

Решить уравнение:

Применяя тождество ,

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

Решить уравнение:

Условие, снимающее знак (*), , поэтому (в силу того, что )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

Решить уравнение:

Так как перепишем уравнение в виде

Ответ:

СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

С ЧЕТНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Если в тригонометрическое уравнение входят функции с четным показателем, очень часто приводит к цели применения формул понижения степени

В некоторых случаях возможность наиболее простого решения уравнения дает применение тождества Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Решить уравнение:

Применяя формулы понижения степени, получим

Ответ:

Решить уравнение:

Выражая и через тангенс половинного аргумента и применяя подстановку , получим

Подставляя в исходное уравнение значение , получим

Следовательно, потеря корней не произошла.

Ответ:

Решить уравнение:

Приведем функции левой части уравнения к одному аргументу

Ответ:

Решить уравнение:

Применяя формулу понижения степени и формулы приведения, получим

Ответ:

Решить уравнение:

,

Ответ:

Второй способ. Прибавляя к левой и правой части уравнения выражение , получим

Ответ:

Решить уравнение:

Применяя формулы понижения степени, получим

Ответ:

Решить уравнение:

Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:

Тогда исходное уравнение запишется в виде

Ответ:

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА

Рассмотрим уравнение вида ,

где и . Это уравнение можно решить одним из следующих способов:

а) возведение обеих частей уравнения в квадрат;

б) выражение всех функций через тангенс половинного угла;

в) введение вспомогательного угла.

Применение первого способа может привести к приобретению посторонних корней, и проверка полученных решений бывает очень громоздкой. При использовании второго способа может произойти потеря решения вида . Наиболее удобным является способ введения вспомогательного угла. Рассмотрим этот метод в общем виде.

Разделим обе части уравнения (1) на , получим

Так как , то существует угол такой, что

и ,

тогда уравнение (1) можно переписать в виде

или

Последнее уравнение разрешимо только в том случае, когда

или

Когда это условие выполнено, решение уравнения (1) запишется следующим образом:

и угол определяется из формул (2) . Если же условие (3) не выполнено, то уравнение (1) решений не имеет.

Рассмотрим несколько примеров.

Решить уравнение:

Запишем уравнение в виде ,

тогда

Так как и , то в качестве угла можно взять , и уравнение запишем в виде

Ответ:

Решить уравнение:

Умножая обе части уравнения на и перенося все члены уравнения в левую часть, получим

Учитывая, что и , запишем уравнение в виде

Или, применяя формулу приведения,

Приравнивая каждый сомножитель к нулю, получим две серии решений:

Ответ:

Решить уравнение:

В этом уравнении ,

следовательно, условие не выполняется, и уравнение не имеет решений. Ответ:

ОЦЕНКА ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ

При решении некоторых тригонометрических уравнений рассмотренные выше способы не приводят к цели. В этом случае предварительная оценка левой и правой частей уравнения иногда позволяет быстро установить, имеет ли оно корни, и существенно упростить решение.

Решить уравнение:

Учитывая, что и , заключаем, что часть уравнения будет равна правой только тогда, когда

но синус и косинус одного и того же аргумента одновременно быть равными единицы не могут, так как это противоречит тождеству , поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ:

Решить уравнение:

Левая часть уравнения может быть равной трем только в том случае, когда

Из первого уравнения системы имеем , подставляя это значение х в третье уравнение системы, получим , следовательно, данная система решений не имеет.

Ответ:

Решить уравнение:

Очевидно, правая часть уравнения удовлетворяет условию . Для оценки левой части уравнения воспользуемся свойствами числовых неравенств. Очевидно,

складывая эти неравенства, получим . Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно следующей системе:

Из второго уравнения системы имеем: и . Подставляя эти значения х в первое уравнение системы, получим , то есть является решением исходного уравнения.

Пусть , тогда

Значит, не является решением исходного уравнения.

Ответ:

Решить уравнение:

Оценим левую часть уравнения. Так как и , левая часть уравнения может быть равной единице только в том случае, если

а) б)

Решая систему (а), получим . Подставляя это значение х во второе уравнение системы (а), получим , то есть является решением исходного уравнения.

Решим систему (б) . Подставим это значение во второе уравнение системы (б), получим

то есть тоже является решением исходного уравнения. Тогда ответ для исходного уравнения запишется в виде

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

При решении иррациональных тригонометрических уравнений после возведения обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Рассмотрим примеры решения таких уравнений, выбирая метод проверки, адекватный полученному решению.

Решить уравнение:

Уравнение решений не имеет. Остается . Условие, снимающее знак (*) в первом переходе, , значит, решение уравнения должно принадлежать четвертой четверти, то есть

Ответ:

Решить уравнение:

откуда или . Условие равносильности , значит посторонний корень. Остается

Ответ:

Решить уравнение:

откуда и Так как в решении знак (*) отсутствует, фиксируем ответ:

.

С -1. Простейшие тригонометрические уравнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

С – 2. Многовариантная самостоятельная работа на простейшие тригонометрические уравнения.

Решите тригонометрическое уравнение, если - один из его корней (см. таблицу).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

С – 3. Применение условий равенства двух одноименных тригонометрических функций.

1) 2) 3) 4)

1) 2) 3) 4)

1) 2) 3) 4)

С – 4. Уравнения, решающиеся методом подстановки.

Решите уравнение вида , если

2) Решите уравнение вида , если является корнем данного уравнения:

С – 5. Уравнения, решающиеся введением новой переменной.

1)

2) , если является корнем;

3) , если является корнем;

4) , если является корнем.

1)

2) , если является корнем;

3) , если является корнем;

4) , если является корнем.

1)

2) , если является корнем;

3) , если является корнем;

4) ,если является корнем.

С – 6. Однородные уравнения.

1)

2)

3)

4)

1)

2)

3)

4)

1)

2)

3)

4)

С – 7. Уравнения, решающиеся разложением на множители.

1)

2)

3)

4)

1)

2)

3)

4)

С – 8. Уравнения вида

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1) а) Решите уравнение

Ответ:

б) Решите уравнение

Ответ:

3) а) Найдите критические точки функции

Ответ:

б) Найдите критические точки функции

Ответ:

4) а) Найдите критические точки функции

Ответ:

б) Найдите критические точки функции

Ответ:

4) а) Решите уравнение

Ответ:

б) Решить уравнение

Ответ:

6) а) Найдите критические точки функции и укажите среди них одну из точек максимума.

Ответ: - точка максимума.

б) Найдите критические точки функции и укажите среди них одну из точек минимума.

Ответ: - точка минимума.

4) а) Сколько корней имеет уравнение на отрезке ?

б) Сколько корней имеет уравнение на отрезке ?

3) а) Вычислите абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функции и

Ответ: точки вида

б) Вычислите абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функций и

Ответ: точки вида

4) а) Найдите все значения х, при которых выражение имеет смысл и не обращается в нуль.

Ответ:

Простейшие уравнения с параметром.

В заданиях 1 – 7 нужно решить уравнения для всех значений а.

1)

Ответ:

2)

Ответ:

3)

Ответ:

4)

Ответ:

5)

Ответ:

6)

Ответ:

7)

Ответ:

8) При каких значениях а уравнение не имеет решения?

Данное уравнение не будет иметь решений, если парабола, задаваемая функцией , будет расположена одним из трех способов: см. рисунок.

1.

2. Так как , то

3. Такого быть не может, так как

Ответ:

При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

Ответ:

При каких значениях параметра а уравнение имеет решения?

Ответ:

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно один корень на отрезке ?

Ответ:

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно один корень на интервале ?

Ответ:

Системы тригонометрических уравнений

1.

Ответ:

В записи ответа участвует одна переменная.

2.

Ответ:

3.

Эту систему моно решать как линейную относительно и .

Ответ:

4.

Удобнее рассмотреть по отдельности четыре системы, совокупность которых равносильна исходной системе.

Ответ:

5.

Необходимо рассмотреть два случая:

а)

б)

Следствием этой системы является уравнение

Пусть

Пусть

Ответ:

Системы уравнений, в которых одно уравнение – алгебраическое, а другое тригонометрическое.

Системы, в которых оба уравнения – тригонометрические уравнения

или

или

или

или

5)

Ответ:

6)

Так как

или

Ответ:

7)

Ответ:

8)

Пусть тогда

Это уравнение равносильно следующей схеме

так как

Ответ:

а) Решить систему уравнений

Ответ:

б) Решите систему уравнений

Ответ:

Примеры решения тригонометрических неравенств

1)

Ссылаясь на формулу , преобразуем левую часть неравенства:

Значит, данное неравенство равносильно неравенству . Отсюда . Следовательно,

2)

Пусть , где . при , т.е. при . Значит, , следовательно,

3)

Предположим , откуда . Решим неравенство . Корни квадратного уравнения . Отсюда при или

Ограничение дает либо , либо . Заменяя t на cos x , получим:

а) либо , т.е.

б) либо , т.е. .

Ответ: , или

4) . Область определения . Представив неравенство в виде

,

получим двойное неравенство , равносильное данному. Значит,

5)

Так как , то данное неравенство сводится к равносильному неравенству Отсюда:

а) , т.е. , или

б) , т.е.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

1. Упростить выражение:

2. Дано: и

3. Докажите тождество:

4. Доказать, что функция является чётной.

2. Дано: и

3. Доказать тождество:

4. Доказать, что функция является чётной.

2. Дано: и

3. Докажите тождество:

4. Доказать, что функция является нечётной

2. Дано:

3. Доказать тождество:

4. Доказать, что функция не является ни чётной, ни нечётной.

Найдите:

3. Доказать тождество:

4. Доказать, что функция является чётной.

5. Вычислить

2. Дано:

3. Доказать тождество:

4. Доказать, что функция является нечетной

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

1. Решить уравнение:

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

1. Решите уравнение:

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

1. Решите уравнение:

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющее неравенству:

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

1. Решите уравнение:

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

1. Решите уравнение:

2. Решите неравенство:

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

1. Решите уравнение:

2. Решите неравенство:

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания одновременно.

Тригонометрические функции числового аргумента 4

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла 4

Формулы приведения 6

Преобразование тригонометрических выражений 6

Решение простейших тригонометрических уравнений 9

Решение тригонометрических уравнений вида sin f ( x ) = a 14

Приведение уравнений к алгебраическому виду относительно к какой –либо тригонометрической функции 15

Способы решения уравнений, основанных на использовании свойств произведения и частного 21

Решение уравнений. Тригонометрические функции с четным показателем 25

Решение тригонометрических уравнений методом вспомогательного угла 29

Оценка левой и правой частей уравнения 32

Иррациональные тригонометрические уравнения 34

Самостоятельные работы 37

Простейшие уравнения с параметром 43

Решить самостоятельно 45

Системы тригонометрических уравнений 45

Системы уравнений, в которых одно уравнение алгебраическое, а другое тригонометрическое 48

Решить самостоятельно 52

Примеры решений тригонометрических неравенств 52

Контрольные вопросы 56

Колмогоров «Алгебра и начала анализа». М., 1990.

В.В. Кулешов «Задачи по элементарной математике» Тольятти, 1994.

Сборник задач по математике для поступающих во втузы (под редакцией М.И. Сканави М., 1998)

Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия М., 1991.

Бородулл И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М., 1989.

  • 3966
  • 20.10.2015

Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.

Вы первый можете оставить свой комментарий

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Источник:

infourok.ru

Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии в городе Красноярск

В этом каталоге вы имеете возможность найти Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии по разумной цене, сравнить цены, а также найти другие книги в группе товаров Книги. Ознакомиться с параметрами, ценами и обзорами товара. Доставка может производится в любой населённый пункт России, например: Красноярск, Барнаул, Владивосток.